虚数単位の話

幼馴染の数学の教授がNHKで放送されている「笑わない数学」という番組をSNSで教えてくれたのですが、面白い番組なので欠かさず見ています。

今週のテーマは「虚数」。

それに対して、彼は次のような小話も紹介してくれました。

『 i は虚数である。しかし、i×i は実数（real number）になる。また、i の i 乗も実数になる。』
これを、人間の言葉に翻訳すると、次のようになるらしいです！
『愛は虚ろなものである。しかし、二つの愛が交差すると、リアルなものになる。また、愛の愛情（？）も、リアルなものになる。』 

 

工学の分野では複素数が有力な解析手段になるのですが、虚数単位に i を使うと電気の分野では電流と間違えやすいので、代わりに j を使います。
e＝(R＋jωL+1/(jωC)）i
みたいな感じです。それのためか、回路以外で複数数で処理する場面でも
複素数を　s = σ + jω
と書くことが一般的です。
「そこに i はないんか？」とアイフルの女将さんに怒られるかもしれませんが、電気の領域では  j なんです。（笑）

ところで、電流をどうして i で表すのでしょう？　電流だったらcurrentなので、c で良さそうです。でも、ｃはcapacitance（電気容量）に使われていたんで、しかたなくintensity of electric current　から i を持ってきたようです。
ということは、電流を i と定義することが、虚数単位を i とするより前に定着していたということなのでしょうか？

調べると、電流を i とすることは、1826年にオームがオームの法則を公表したことによるようです。一方、虚数単位を i とすることは18世紀にオイラーによって始められたようですが、その i を使った複素数の定義は1835年にハミルトンによってなされたとされています。

ということで、複素数を電気回路の解析に使おうとしたときに、i は電流に取られていたのです。ひょんなことから科学史を勉強することになりました。

ついでにもう一つ。
上述した小話で、　i の i 乗も実数になる　というのはどういうことなのでしょう？　それを解説した記事は、Googleで「i の i 乗は実数」と入れて検索するといくつも見つかるのですが、その検索窓に試しに　i^i と入力すると、以下のように、主値の0.20787957635　を返してきたのには驚きました。